Théorie De La Multiplication Et De La Transformation Des Fonctions Elliptiques; Essai D'exposition élémentaire
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Ce produit donnant son signe à Pl^p^, il en résulte que celui-ci a le même signe que ( — 1) On démontre de la même manière que Pp.^p, et Pv^p^ sont toujours positifs.
Cela établi, nous pouvons passer à la détermination des produits PJ^^p, etc.
Nous avons d'après le n" précédent et (I, 15), si m = n^—i : „t ^ pi^ = p ^ih = p (A-^A^p J = k^^n^û^.
D'où à cause du lemme, si A- est positif et plus petit que l'unité : «— j II Je dis que l'on ne peut avoir pour aucune valeur de k p);^P.=-(-'i) ' ^ («)... En effet, soit d'abord k positif et plus grand que l'unité, et supposons, — o4 — s'il est possible, que l'on ait régalité (a). Pesons varier k d'une nmnièrc continue depuis cette \aleur plus grande que l'unité, jusqu'à une valeur inférieur k^. PA^pj,qui est toujours égal à ± nk-'^, ne s'annulera pas; d'ailleurs X^e étant une fonction continue de k, variera aussi d'une manière continue. Donc P 'k'^p^ ne pourra changer brusquement de signe, et si k devient égal à k^, on aura encore w — I 2 ^1 ce qui est contraire au lemme.
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D'où à cause du lemme, si A- est positif et plus petit que l'unité : «— j II Je dis que l'on ne peut avoir pour aucune valeur de k p);^P.=-(-'i) ' ^ («)... En effet, soit d'abord k positif et plus grand que l'unité, et supposons, — o4 — s'il est possible, que l'on ait régalité (a). Pesons varier k d'une nmnièrc continue depuis cette \aleur plus grande que l'unité, jusqu'à une valeur inférieur k^. PA^pj,qui est toujours égal à ± nk-'^, ne s'annulera pas; d'ailleurs X^e étant une fonction continue de k, variera aussi d'une manière continue. Donc P 'k'^p^ ne pourra changer brusquement de signe, et si k devient égal à k^, on aura encore w — I 2 ^1 ce qui est contraire au lemme.
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